За тези, които не харесват или дори мразят математиката, разлагането на множители може да бъде мъка, но в тази статия ще разгледаме някои прости начини да го направите. Макар на пръв поглед задачите да изглеждат сложни и объркващи, с правилния подход те могат да станат значително по-лесни. Разлагането на множители е важна част от алгебрата и се използва при решаването на уравнения, опростяването на изрази и намирането на общи зависимости между различни числа и променливи.
В следващите части ще разгледаме основните методи за разлагане на множители, ще обясним кога е подходящо да използваме всеки от тях и ще дадем примери стъпка по стъпка. Целта е не просто да запомним определени правила, а да разберем логиката зад тях. По този начин дори по-сложните изрази могат да бъдат решени по-уверено и без излишно притесне
Какво е факторизация?
Факторизацията е процес на преобразуване на два или повече множители, което може да улесни изчисляването на изрази. Ако правите това с ментална аритметика, ще трябва да групирате общите множители и след това да съберете останалите.
Нека разгледаме 200 x 25 + 425 x 25.
Можем да опростим това, както следва:
200 x 25 + 425 x 25
= 25 x (200 + 425)
= 25 x 625
= 15 625
В този случай 25 е най-големият общ делител. Просто трябва да съберете останалите членове и да ги умножите по 25, за да решите.
Нека си представим, че искаме да изчислим разликата между площите на два кръга. Това означава, че ще трябва да изчислите площта на двата кръга и да извадите едната от другата. A = (π x R²) - (π x R²) = (π x 25²) - (π x 15²).
(π x 25²) - (π x 15²) води до това, че трябва да изчислите два квадрата и след това да ги умножите и двата по пи (приблизително 3,14), преди да можете да извадите едната площ от другата.
Това означава: A = π x (25² - 15²)
За щастие, знаем, че разликата на два квадрата е:
a² - b² = (a - b) (a + b)
A = π (25 - 15) x (25 + 15),
= π x 10x40
= π x 400 или 400π.
Ако вземем π за 3,14, разликата между тези два кръга е 1256 см².
Разлагането на алгебрични изрази в произведения на множители е много полезно в този вид формули за разлагане на множители.
Прочетете повече и за видовете алгоритми.
Факторизиране на буквални уравнения
Когато става въпрос за решаване на уравнения, трябва да знаете кои алгебрични правила да приложите.
За да разложим израз на множители на различни произведения, трябва да намерим общ делител, така че ще търсим член, който ще ни позволи да умножим първия по втория. 4x+20 е равно на 2(2x+10).
Факторизирането ви позволява да разложите уравнението.
Има два начина за факторизиране:
- Разпределителност
- Специални продукти
Ако искате да знаете резултата от f(x) = 0, знаем, че произведението трябва да е нула, ако един от множителите е 0.
Можете да препишете f(x) = 0 като y(x) xg(x) = 0 и след това да намерите решение за y(x) = 0 или g(x) = 0.
Нека разгледаме друг пример.
Нека си представим, че в теста си в края на годината трябва да решите следното уравнение: 4x² = 64. Това не е най-лесното за наум сумиране, но можете да замените x с 1, 2, 3 и т.н., докато намерите отговора за 4x² = 64.
Ако използвате обикновен продукт, ще бъде много по-лесно да се реши проблемът.
4x²=64 е същото като 4x² - 64 = 0.
Следователно, f(x) е 4x² - 64. Ако f(x) е равно на 0, тогава 4x² - 64 също е равно на нула.
Можем да използваме разликата от два квадрата.
Можете да разложите това на множители до (2x-8) (2x+8) = 0.
Тогава това става 2x-8 = 0 или 2x + 8 = 0.
Сега, 2x-8 = 0 става x = 8/2 и 2x+8 = става x = -8/4. Уравнението има две решения: -4 и 4.
Не забравяйте, че правилото на Декарт за знаците при решаване на квадратни уравнения и линейни уравнения може да ви помогне. След опростяване, броят на промените на знака може да ви покаже колко положителни, отрицателни и имагинерни нули ще имате. За тези които се интересуват препоръчваме и нашата статия за изработка на конус.
Разлагане на множители с няколко общи делители
Когато има само един общ фактор, решението е сравнително просто.
Ето едно бързо упражнение:
Намерете общия делител и разложете на множители следния израз: (2x - 1) (x + 3) - (4x - 5) (x + 3).
Изразът приема вида (ax + ...) + (ax + ...).
Тук общият делител е (x+3) с два члена. За да разложите на множители, трябва да направите почти същото, както с един член, но ще е необходимо да използвате квадратни скоби, за да изолирате членовете.
Ето резултатите:
Общият делител е (x+3)
Използвайте принципа на дистрибутивност и обърнете внимание на правилото на знаците.
- A = (2x - 1) (x + 3) - (4x - 5) (x + 3)
- A = (x + 3) [(2x – 1) – (4x – 5)]
- A = (x + 3) (2x – 1 – 4x + 5)
- A = (x + 3) (– 2x + 4)
За да бъде A равно на 0, (x+3) = 0 или (-2x + 4) = 0.
Следователно двете решения са x = -3 или x = 2.
Вече знаете всички формули за разлагане на множители.
Специални продукти
Специалните продукти са специфичен вид уравнение.
Можем да ги използваме за факторизиране
Те са особено полезни с квадратни уравнения, с които ще започнете да се сблъсквате често, докато изучавате математика в училище.
(ab)² = a² - 2ab + b²
(a+b) (ab) = a² - b²
Има три начина да направите това, така че трябва да ги научите наизуст!
Сумата от два квадрата е равна на квадрата на първия плюс удвоеното на първия член, умножено по втория плюс квадрата на втория.
Второто гласи, че разликата между двата члена е равна на разликата между първия член на квадрат и удвоеното произведение на първия и втория член плюс квадрата на втория член. И накрая, последното гласи, че произведението от сбора на двата члена минус тяхната разлика е равно на първия член на квадрат минус втория член на квадрат.
Например:
Как можете да разложите a² + 6a + 9 на множители?
Отговор: a² + 6a + 9 = a² + 2a x 3 + 3², следователно a² + 6a + 9 = (a+3)²
Как може да се разложи на множители x² - 81?
Нека потърсим стойност за x, където квадратът е равен на 81; x = 9.
Използвайки третия метод по-горе, виждаме, че x² - 81 = (x + 9) (x - 9).
Благодарение на факторизацията, можете да решите това уравнение с цели числа, дроби и квадратни корени.
Сега нека видим как нещата стават малко по-сложни, когато става въпрос за факторизиране на квадратно уравнение.
Как да факторизираме квадратно уравнение
Учениците са склонни да се научат как да разлагат квадратни уравнения на множители по-късно в училище.
Това включва пренаписване на квадратното уравнение в стандартната форма, което означава, че ще имаме a, b и c, където a ≠ 0 и Δ представлява дискриминантата на полиномиалното уравнение ax² + bx + c.
Ако x1 и x2 са корените на квадратичен полином ax2 + bx + c, те могат да бъдат факторизирани като z (x-x1) (x-x2).
Ако x0 е единственият корен на квадратичния полином ax² + bx + c, тогава той може да се разложи на множители като (x-x0)².
Тъй като произведението на a (x-x0)² = a(x-x0)(x-x0), знаем, че x0 е двукоренен.
Можем да заключим следното:
| Условие | Свойство | Корени | Факторизирана форма |
|---|---|---|---|
| ∆ = 0 | ax² + bx + c има двоен реален корен | x₀ = -b/(2a) | ax² + bx + c = a(x - x₀)² |
| ∆ < 0 | Полиномът ax² + bx + c няма реални корени | — | Не може да бъде факторизиран в ℝ |
| ∆ > 0 | ax² + bx + c има два различни реални корена | x₁ = (-b - √∆)/(2a); x₂ = (-b + √∆)/(2a) | ax² + bx + c = a(x - x₁)(x - x₂) |
| c = 0 | Квадратният израз има нулев свободен член | — | ax² + bx + c = x(ax + b) |
Ако имате затруднения с това, би било добра идея да работите върху факторизацията извън класа с всеки метод.
За да изучавате математиката още повече, може да искате да научите как да разлагате на множители с помощта на калкулатора си.
Научете повече и за медианите.
Разлагането на множители може да ви позволи да намирате решения по-бързо, стига да не се спъвате във всички скоби!
Ако се чувствате объркани, когато става въпрос за математика, помислете за получаване на помощ от частен учител по математика на уебсайта на Superprof.
Можете да намерите преподаватели, специализирани по математика за всички нива - от начално училище до университет. Има различни начини да учите с частен учител, така че се уверете, че сте избрали вида уроци, който е подходящ за вас, как обичате да учите и какъв е вашият бюджет.
Присъственото обучение е най-разпространеният вид и обикновено включва обучение само на един ученик в дома му. Тъй като има само един ученик, той може да персонализира всяка минута от урока спрямо него и да гарантира, че той извлича максимума от всяка минута, в която работи заедно. Разбира се, тази персонализирана услуга обикновено струва повече, тъй като плащате за самото обучение и времето, което преподавателят трябва да отдели за планиране на уроците и пътуване до домовете на учениците си.
Обобщи с помощта на AI
Хареса ли Ви статията? Оставете отзив!
Loading...
