В часовете по математика в училище учениците ще учат за статистика, геометрия и как да изчисляват средната стойност и медианата. Често неразбирана, медианата е важен показател при анализа на вероятности, геометрия и статистика.
Математиката може да бъде сложна и за много ученици частните академични уроци са един от най-добрите начини да успеят. В тази статия ще разгледаме как да намерим медианата.
Моливите са готови!
Какво е медиана в математиката?
За да научите как да изчислите медианата, ще трябва да знаете точно какво представлява тя.
Медианата е стойността, която разделя поредица от стойности на равни части и медианата редовно се използва в статистиката, тъй като в определени случаи може да бъде по-полезна от средната стойност.
Медианата е централната стойност на статистическа серия и за да получите тази стойност,
ще трябва да подредите всичките си данни. Оттам можете лесно да намерите стойността, която се намира идеално в средата на вашата серия.
Нека използваме треньор по плуване като пример.
Да кажем, че треньорът има девет плувци, които пробягват два басейна, и те са предоставили следните времена в секунди:
30.6, 29.1, 32.9, 35.1, 30.0, 36.4, 31.7, 35.5, 33.9.
След като бъдат класирани, стойностите изглеждат така: 29.1, 30.0, 30.6, 31.7, 32.9, 33.9, 35.1, 35.5, 36.4.
Средното време би било 32,9.
Това означава, че можете да разделите плувците на групи от двете страни на тази стойност.
Какво се случва, ако друг ученик се присъедини към класа?
Представете си, че са преплували две дължини за 28,7 секунди. Това ще ни остави с четен брой плувци (10 точки данни). „Средата“ на този набор ще се намира между две стойности: 31,7 и 32,9.
За да изчислите медианата си с четен брой стойности, ще трябва да изчислите средната стойност между двете числа (31,7 + 32,9) / 2 = 32,3.
Заключение:
- Ако размерът на извадката е нечетен, избирате средната стойност.
- Ако размерът на извадката е четен, се взема средната стойност на двете стойности от двете страни на реалната централна стойност.
Доста просто, нали?
Научете различни формули за множители.
Намиране на медианата в дискретна статистическа серия
В статистиката една променлива се нарича дискретна, когато е реална стойност, която може да бъде преброена. Например, резултатите на учениците в тест по математика по описателна статистика.
Да кажем, че е имало общо 20 точки за грабване и учениците са получили: 5, 12, 11, 10, 6, 17, 11, 12, 10, 13, 9, 11, 12, 8, 7, 10, 11, 10, 12, 11, 9, 10, 8, 11.
Подреждане на статистическите стойности в таблица
Намирането на медианата изисква подреждане на стойностите във възходящ ред на един ред и броя на учениците с посочената стойност на втория ред.
Това ще ви остави със следното:
- Ред 1: 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 17.
- Ред 2: 1, 1, 1, 2, 2, 5, 6, 4, 1, 1.
- Вземете всяка стойност от Ред 2 и добавете предишната стойност към нея. 1, 2, 3, 5, 7, 12, 18, 22, 23, 24.
5 ученика получиха 10, един ученик получи 17, а 4 ученика получиха 12 и т.н.
Чрез сумиране на предишните стойности се получава така наречената кумулативна честота. Това е полезно за анализ на определени серии от данни.
Например, 12 ученици са получили по-малко от 10 или 50% на теста.
Прочетете повече за алгоритмите и приложението им.
В някои случаи можете да използвате кумулативна честота, за да изчислите резултатите като процент, което е особено полезно, когато използвате глобалното население.
Средната заплата във Великобритания е 31 460 паунда, което означава, че половината от населението печели по-малко от тази сума.
Какво представлява медианата в триъгълник?
Медиана в триъгълник се нарича отсечката, която свързва един от върховете на триъгълника със средата на срещулежащата страна.
Дължината на медиана mₐ² се изчислява директно от трите страни на триъгълника чрез формулата
mₐ² = (1/4)(2b² + 2c² − a²)
Най-лесно е да запомним следното правило: страната, към която е спусната медианата, е тази, която се изважда под корена.
Например при m_a имаме:
m_a = (1/2)√(2b^2 + 2c^2 - a^2)
Затова, ако търсим медианата към страна a, използваме другите две страни b и c в първите два члена, а a^2 се изважда.
Пример
Нека имаме триъгълник със страни:
a = 6 cm, b = 5 cm, c = 7 cm
Искаме да намерим медианата към страната a. Тъй като търсим m_a, използваме формулата:
m_a = (1/2)√(2b^2 + 2c^2 - a^2)
Заместваме a = 6, b = 5 и c = 7:
m_a = (1/2)√(2·5^2 + 2·7^2 - 6^2)
m_a = (1/2)√(50 + 98 - 36)
m_a = (1/2)√112
m_a = 2√7 ≈ 5.29 cm
Следователно медианата към страната a е приблизително 5,29 cm. Това може да се извърши след като знаете формулата за медиана в триъгълник
Някои ученици може да имат затруднения с концепцията за медианата на триъгълник.
По същество медианата е линия, която свързва връх със средната точка на противоположната страна. В триъгълник, обозначен като ABC, медианата напуска върха A и се съединява с линията между B и C.
Тъй като линията завършва по средата на другата страна, разстоянието между върховете B и C и линията, която сме начертали, ще бъде с еднаква дължина. Това също означава, че ако направите това за всеки връх, ще получите двойки равни триъгълници.
Теоремата на Аполоний гласи, че „сумата от квадратите на всякакви две страни на всеки триъгълник е равна на два пъти квадрата върху половината от третата страна, заедно с два пъти квадрата върху медианата, разполовяваща третата страна“.
Шестте триъгълника, които създавате, като вземете медианата на триъгълник, също са еднакви двойки триъгълници. Точката, в която се пресичат в средата, е и центърът на тежестта на триъгълника.
Медианата може да се използва и за да се определи дали един триъгълник е равнобедрен. Ако две медиани са с еднаква дължина, триъгълникът е равнобедрен.
Теорема за медиана в правоъгълен триъгълник
В правоъгълен триъгълник, медианата от правия ъгъл може да се използва за намиране на средата на хипотенузата, известната страна от теоремата на Питагор. Ако дължината на медианата е половината от дължината на следващата страна, имате правоъгълен триъгълник. Сега ще ви покажем теоремата за медиана в правоъгълен триъгълник
При равнобедрения триъгълник медианата, спусната от върха между равните страни към основата, има особено важно свойство. Тя не само разделя основата на две равни части, но едновременно е височина и ъглополовяща.
Нека триъгълникът ABC е равнобедрен, като AB=AC, а BC е основата. Ако M е средата на основата BC, то отсечката AM е медиана. За нея са изпълнени следните свойства:
- BM=MC – медианата разделя основата на две равни части;
- AM⊥BC – медианата е височина;
- ∠BAM=∠MAC – медианата е ъглополовяща.
Следователно, в равнобедрен триъгълник медианата към основата съвпада с височината и ъглополовящата, което е едно от най-важните свойства на този вид триъгълници. Надяваме се, че вече знаете какво е медиана.
Знаете ли как да направите конус?
Изчисляване на медианата в непрекъснати променливи
В много случаи ще имаме набор от непрекъснати променливи.
Това са данни, които могат да бъдат измервани с произволно голяма степен на точност.
Вземете например температурите. Това е непрекъсната променлива, тъй като стойността между 30°C и 31°C може да бъде 30,1°C, 30,5°C, 30,99999°C, 30,00001°C и т.н.
С нея може да определите медианата и квартилите
Да кажем, че искате да разберете колко хора получават между 500 € и 2100 € на месец.
Представете си следната серия от данни:
- 40 души получават между 500 € и 800 € на месец.
- 31 души получават между 800 € и 1100 €.
- 25 души получават между 1100 € и 1200 €.
- 52 души получават между 1200 € и 1500 €.
- 37 души получават между 1500 € и 1800 €.
- 18 души получават между 1800 € и 2000 € на месец.
- 27 души получават между 2000 € и 2100 €.
Общият брой наблюдения е N = 230.
Можем да начертаем кумулативната честота спрямо стойностите. Кумулативната честота се поставя на оста y, а горните граници на интервалите — на оста x.
В този случай можем да прочетем данните директно от графиката, без да са необходими сложни математически формули. За да намерите медианата, начертайте хоризонтална линия от средата на оста y — тоест от 115, или от 50%, ако кумулативната честота е представена като процент.
По подобен начин могат да бъдат намерени и квартилите. Първият квартил (Q1) се намира при 25%, а третият квартил (Q3) — при 75% от общия брой наблюдения. При N = 230 това съответства съответно на 57,5 и 172,5.
В нашия пример стойностите на 25% и 75% са приблизително 970 € и 1700 €.
Това означава, че:
- 25% от извадката получават 970 € или по-малко на месец.
- 50% от извадката получават между 970 € и 1700 € на месец.
- 75% от извадката получават 1700 € или по-малко на месец.
- 25% от извадката получават между 1700 € и 2100 € на месец.
Така само с помощта на кумулативната честотна крива можем бързо да получим полезна информация за разпределението на доходите.
Разбира се, ако искате още по-подробна картина на данните, винаги можете да ги разделите на центили. Това позволява извадката да бъде разделена на 100 равни части и да се анализира разпределението на доходите с още по-голяма точност. Разбира се това се прави когато вече имате предвид какво е медиана.
Не бъркайте средната стойност със медианата
Не бъркайте средната стойност с медианата. Въпреки че и двете могат да се използват за изчисляване на средни стойности за серия от данни, средната стойност е по-силно повлияна от екстремните стойности. Средната стойност се изчислява чрез сумиране на всички стойности в серията и разделяне на броя на стойностите в серията.
Както ви показахме по-рано, медианата може да се използва и за някои полезни статистически анализи.
Ако се върнем към примера с доходите, средната стойност няма да ви покаже цялата картина. Средната стойност може да скрие статистически данни от хора с много високи и много ниски доходи. Малък брой хора с много високи доходи, като милионери и милиардери, могат лесно да изкривят данните, например, поради което повечето данни за средните доходи използват медианата. Това също ви позволява да видите квартилите в данните и да разберете по-добре части от тях.
Както виждате, описателната статистика в математиката може да бъде полезна за анализ на данни в ежедневието.
Прочетете повече за дробите.
Ако искате да научите повече за математиката, помислете за получаване на помощ от един от многото талантливи и опитни преподаватели на уебсайта на Superprof.
Можете да намерите преподаватели, специализирани по математика за всички нива - от начално училище до университет. Има различни начини да учите с частен учител, така че се уверете, че сте избрали вида уроци, който е подходящ за вас, как обичате да учите и какъв е вашият бюджет.
Обобщи с помощта на AI
Хареса ли Ви статията? Оставете отзив!
Loading...
